어릴때 썼던거라.. 다소 과한 표현이 많을 것 같습니다.. 부디 귀엽게 봐주셔요..
$\def\m#1{\mbox{#1}}$
Chapter 4. Continuous Mapping
4-6. Uniform Continuity
Continuous와 Uniform Continuous는 아래와 같이 정의된다.
$\m{For }(M,d),(N, \rho) \m{: Metric Space} ,f: A \rightarrow N , A \subset M$
$f \m{: continuous at }x_0 \in A \\ \iff \forall \epsilon>0, \exists \delta>0 \m{ such that if } d(x,x_0) < \delta, \m{then } \rho(f(x),f(x_0))< \epsilon$
$f \m{: continuous in }A \\ \iff f \m{: continuous } \forall x \in A$
여기서 $\delta$는 일반적으로 $x_0$와 $\epsilon$에 의존한다.
ex)
$M = N = \R , d = \rho = \mid \cdot \mid \\ f:(0,1) \rightarrow \R , f(x) = \frac{1}{x} , x \in (0,1) \\ f \m{: continuous in } (0,1)$
$\m{proof) } \rho(f(x),f(x_0)) = \mid f(x) - f(x_0) \mid \\ = \mid \frac{1}{x} -\frac{1}{x_0} \mid = \frac{\mid x-x_0\mid }{\mid x \mid \mid x_0 \mid} = \frac{d(x,x_0) }{\mid x \mid \mid x_0 \mid} $
$\m{let’s take } \delta = \min(\frac{1}{2} \mid x_0 \mid , \frac{1}{2} \mid x_0 \mid ^2 \epsilon) \m{,then } \\ d(x,x_0)=\mid x - x_0 \mid < \delta \leq \frac{1}{2} \mid x_0 \mid \\ \Rightarrow x_0-\delta \leq x \leq x+ \delta \Rightarrow \frac{1}{2} x_0 \leq x$
$\m{and then } \\ \frac{d(x,x_0)}{\mid x \mid \mid x_0 \mid } = \frac{\mid x-x_0\mid}{\mid x \mid \mid x_0 \mid } \\ \leq \frac{\mid x-x_0\mid}{\frac{1}{2}\mid x_0 \mid^2 } \leq \frac{\delta}{\frac{1}{2}\mid x_0 \mid^2 } \leq \frac{\frac{1}{2}\mid x_0 \mid^2}{\frac{1}{2}\mid x_0 \mid^2 } = \epsilon$
so f is continuous at $x \in A$
여기서 $\delta = \min(\frac{1}{2} \mid x_0 \mid , \frac{1}{2} \mid x_0 \mid ^2 \epsilon)$이므로 $\delta = \delta(x_0,\epsilon)$이라고 할 수 있다.
그러나 몇몇 함수들은 $\delta$가 $x_0$에 독립적으로 정의되면서 연속을 보일 수 있다. 이 경우의 연속은 uniform continuous라고 한다.
$\m{For }(M,d),(N, \rho) \m{: Metric Space} ,f: A \rightarrow N , A \subset M$
$f \m{: uniformly continuous in } A \\ \iff \forall \epsilon>0, \exists \delta=\delta(\epsilon)>0 \m{ such that if } d(x,x_0) < \delta, \m{then } \rho(f(x),f(x_0))< \epsilon$
그럼 어떤 경우를 만족하면 Uniform Continuity가 아니라고 말 할 수 있을까? 해석학적 논법으로는 다음과 같이 표현한다.
$f\m{: not uniformly continuous in A} \\ \iff \exists \epsilon_0>0 , \forall \frac{1}{n} (n \in \N) \m{ such that } \exists x_n,y_n \in A ,d(x_n,y_n) <\frac{1}{n} \m{ but } \rho(f(x_n),f(y_n)) > \epsilon_0$
조금 있다가 다룰 differentiable과 관련하여 다음과 같은 property가 존재한다.
If f is differentiable at $x_0$,then f is uniformly continuous in $x_0$
또 다음과 같은 중요한 정리도 성립한다.
Uniform Continuity Theorem
$f : A \rightarrow N \m{: continous and A: compact} \Rightarrow f\m{: uniformly continuous}$
pf)
$\epsilon >0 ,\forall x \in A ,f:\m{ conti at }x \\ \Rightarrow \exists \delta = \delta (\epsilon,x) >0 \m{ such that } y \in A, d(x,y) \leq \delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\frac{1}{2}\epsilon \\ A \subset \bigcup_{i=1}^{n}D(x_i,\frac{1}{2}\delta(\epsilon,x_i)) {A \m{ is compact}} \\ \delta = \min(\frac{1}{2}\delta(\epsilon,x_1)\frac{1}{2}\delta(\epsilon,x_2),…,\frac{1}{2}\delta(\epsilon,x_n)) \\ x \in D(x_i,\frac{1}{2}\delta(\epsilon,x_i)) \Rightarrow d(x,x_i) < \frac{1}{2}\delta(\epsilon,x_i) \\ d(y,x_i) \leq d(x,y)+d(x,x_i) <\delta +\frac{1}{2}\delta(\epsilon,x_i) \leq \delta(\epsilon,x_i) \\ \Rightarrow x,y \in D(x_i,\delta(\epsilon,x_i)) \\ \Rightarrow \rho(f(x),f(x_i)) < \frac{1}{2}\epsilon,\rho(f(y),f(x_i)) < \frac{1}{2}\epsilon { \m{f is continuous}} \\ \Rightarrow \rho(f(x),f(y)) < \epsilon \\ \therefore f\m{: uniformly continuous}$
4-7. Differentiation of Function of one Variable
미분가능성은 다음과 같이 정의된다.
$\m{For }f \m{: (a,b)} \rightarrow \R , x_0 \in (a,b)$
$f\m{: differentiable at }x_0 \\ \iff \exists f’(x_0) = \underset{h \rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \underset{x \rightarrow x_0}{\lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ \iff \forall \epsilon>0 , \exists \delta>0 , \m{ such that } \mid x- x_0 \mid < \delta \Rightarrow \mid \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f’(x) \mid <\epsilon$
$f’(x_0) \m{: derivative of }f \m{ at } x_0 \m{ and : tangent at }(x_0,f(x_0)) $
$f \m{ : differentiable } \Rightarrow f \m{ : continuous}$
미분가능성에 더하여 비슷한 영역에서 립시츠 성질이라는 것도 정의된다.
Libschitz Property at $x_0$
$\mid f(x) -f(x_0)\mid \leq (1+\mid f’(x)\mid) \mid x- x_0 \mid =A \mid x- x_0 \mid$
이에 대해 다음과 같은 위계가 성립한다.
$\textbf{Differentiable} \subset \textbf{Libschitz Property} \subset \textbf{Uniformly continuous} \subset \textbf{continuous} $
각각의 사이사이에 위치하는 영역의 예시는 다음과 같다.
$f(x) = \frac{1}{x} {x \in (0,1)}$ : Continuous but not Uniformly Continuous
| $f(x) = \left | x\right | ^{1/2} {x \in (-1,1)}$ : Uniformly Continuous but not Libschitz |
| $f(x) = \left | x\right | {x \in (-1,1)}$ : Libschitz but not Differentiable |
Theorem 4.7.5
$\m{For }f,g \m{: differentiable at }x_0 \\ 1)\ (\lambda f)’(x_0) = \lambda f’ (x_0) \\ 2)\ (f+g)’(x_0) = f’(x_0)+g’(x_0) \\ 3)\ (f \cdot g)’(x_0) = (f’ \cdot g)(x_0) +(f \cdot g’)(x_0)\\ 4)\ (\frac{f}{g})’(x_0) = \frac{g(x_0)\cdot f’(x_0) - f(x_0)g’(x_0)}{g(x_0)^2} \\ 5) (f \circ g)’ (x_0) = f’(g(x_0))g’(x_0)$
특히 5번은 chain rule이라고도 불리는 중요한 정리이다.
미분값과 관련해서 Increasing과 Decreasing 개념이 있다
$f \m{: increasing at }x_0 \\ \iff \exists (a,b) \m{ containing x} \m{ such that } \begin{cases} \ a < x < x_0 \Rightarrow f(x) \leq f(x_0) \\ x_0 < x< b \Rightarrow f(x_0) \leq f(x)\end{cases}$
$f \m{: decreasing at }x_0 \\ \iff \exists (a,b) \m{ containing x} \m{ such that } \begin{cases} \ a < x < x_0 \Rightarrow f(x) \geq f(x_0) \\ x_0 < x< b \Rightarrow f(x_0) \geq f(x)\end{cases}$
$\m{For } f \m{: differentiable at } x_0 \\ f\m{: increasing at } x_0 \Rightarrow f’(x_0) \geq 0 \\ f\m{: decreasing at } x_0 \Rightarrow f’(x_0) \leq 0 $
위를 이용해서 sup,inf과 미분값의 관계성도 다음과 같이 찾을 수 있다.
$\underset{x \in (a,b)}{\sup} f(x) = f(c) ,f \m{: differentiable at }c \\ \Rightarrow \begin{cases}\ x<c , f(x) \leq f(c) \Rightarrow f’(c) \geq 0 \\ x>c , f(x) \leq f(c) \Rightarrow f’(c) \leq 0\end{cases} \\ \Rightarrow f’(c) =0$
$\underset{x \in (a,b)}{\inf} f(x) = f(c) ,f \m{: differentiable at }c \\ \Rightarrow \begin{cases}\ x<c , f(x) \geq f(c) \Rightarrow f’(c) \leq 0 \\ x>c , f(x) \geq f(c) \Rightarrow f’(c) \geq 0\end{cases} \\ \Rightarrow f’(c) =0$
그리고 다음과 같이 중요한 정리가 있다.
Rolle’s Theorem
$f \m{: differentiable in} (a,,b) \\ f(a)=f(b) \Rightarrow \exists x \in (a,b) \m{ such that } f’(x) =0$
pf)
$\m{For } \sup f(x) = f(c) \\ f\m{: continuous }, [a,b] \m{ : compact set }\\ \Rightarrow \exists c \in [a,b] { \m{max- mini theorem}} \\ \Rightarrow \exists c \in [a,b] \m{ such that }f’(c) =0 $
If c = a = b consider infimum
$\m{For } \inf f(x) = f(d) \\ f\m{: continuous }, [a,b] \m{ : compact set }\\ \Rightarrow \exists d \in [a,b] { \m{max- mini theorem}} \\ \Rightarrow \exists d \in [a,b] \m{ such that }f’(d) =0 $
If d = a = b, then $d=c = \sup f(x) = \inf f(x)$.
So $f(x) \m{: constant function in }[a,b] \Rightarrow f’(x) =0 $
$\therefore \exists x \in (a,b) \m{ such that } f’(x)=0$
이를 좀 더 일반화 시킨 Mean Value Theorem 이란 것도 존재한다.
Mean Value Theorem
$\m{For } f:[a,b]\rightarrow \R \m{: differentiable } \\ \Rightarrow \exists c \in [a,b] \m{ such that } f(b)-f(a) =f’(c)(b-a)$
pf)
$F(x) = f(x)-f(a)-(x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
로 두고 롤의 정리를 적용하면 도출할 수 있다.
역함수도 미분값이 기존 함수에 대해서 정의 될 수 있다.
$f’(x)>0 \Rightarrow \begin{cases} f \m{: strictly increasing } \\ x<y \Rightarrow f(x) < f(y) \end{cases} $일시
$\Rightarrow f^{-1} \m{: differentiable and } (f^{-1})’(y) = \frac{1}{f’(x)}$
pf)
$y \rightarrow y_0 \Rightarrow x \rightarrow x_0$ 이다. 거꾸로 가는것은 함수의 연속성으로 쉽게 보일 수 있지만 정방향이 성립하기 위해서는 strictly increasing 성질이 필요하다.
$\m{Lemma: } g:A \rightarrow \R \m{: continuous}, A \m{: compact } \\ \qquad \quad f(x)>0, \forall x \in A \\ \qquad \quad \Rightarrow \exists d >0 \m{ such that } g(x) \geq d > 0 ,\forall x \in A$
pf of lemma) $x \in A , \epsilon = \frac{1}{2}g(x) >0 \\ \Rightarrow \exists \delta(x,\frac{1}{2}g(x) )=\delta(x) \m{ such that } y \in D(x,\delta(x)) \Rightarrow \mid g(y)-g(x) \mid < \frac{1}{2}g(x) {\m{continuous}} \\ A \subset \bigcup D(x_i,\delta(x_i,\frac{1}{2} g(x_i))) \\ d = min_i(\frac{1}{2}g(x_i))) \\ y\in A \Rightarrow y \in D(x_i,\delta(x_i)) \m{ for some i} \Rightarrow \mid g(y)-g(x_i) \mid <\frac{1}{2}g(x_i) =\epsilon \\ \Rightarrow d \leq \frac{1}{2}g(x_i) < g(y) \\ \therefore \forall y \in A , g(y) \geq d > 0 $
$f([x_1,x_2]) = [f(x_1),f(x_2)] {\m{ strictly increasing }} \\ \exists c \m{ such that } y - y_0 = f(x)-f(x_0) = f’(c)(x-x_0) \m{( by mean value theorem)}$
so $y-y_0 = f’(c)(x-x_0) \geq d(x-x_0)$
d는 양수이기 때문에 좌변이 0이되기 위해서는 $x-x_0$가 0이어야 한다.
이를 이용하면 나머지는 trivial하게 유도된다.