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Analysis

어릴때 썼던거라.. 다소 과한 표현이 많을 것 같습니다.. 부디 귀엽게 봐주셔요..

0.해석학

이번 학기에 해석학을 공부하게 되었다. 사실 1주일 동안 수업을 들어본 결과, 너무 지루해서 듣지 않으려고 했으나, 교수님과의 상담 후에 필요성을 느끼고 제대로 들어보려고 한다.

그래도 지금까지 계속 블로그를 통해서 정리하는데에 익숙해졌으므로 포스팅을 하면서 공부를 하면 조금 더 의욕적으로 할 수 있을 것 같아서 정리를 해보려고 한다.

해석학은 외울게 많아서 포스팅으로 정리를 하는 것은 분명 유의미한 도움이 될것이라고 사료된다. 해석학 공부는 Jerrold E. Marsden의 책으로 공부하고 정리를 할 것이다.

$\def\d#1{\mathbb{#1}}$

1. The Real Line and Euclidean Space

1-1. Ordered Field and Number System

해석학을 조금 본 바, 해석학은 고대 그리스 때 이어온 연역법을 통한 수학적 개념의 확충을 제일 기본 부터 다루는 느낌이다. 해석학에서 이러한 연역은 공리(Axiom)에서 부터 시작된다. 공리라 함은 “너무나도 자명해서 증명이 필요없는 정의” 혹은 “다른 정의를 증명하기 위해 기본적으로 사용하는 사실”로 인식 할 수 있다.

기본 중의 기본인 만큼 해석학의 첫번째는 수 체계의 정의부터 시작한다. 아래는 해석학에서 수 체계를 정의하기 위해 기본적으로 정의하고 있는 공리들이다.

A. Ordered Field Axiom

Addition Axioms

  1. $x+y = y+ x$ (;Commutativity)
  2. $x+(y+z) = (x+y)+z$ (;Associativity)
  3. There is a number 0 such that $x+0 =x$ (;Zero)
  4. For Each x, there is a number -x such that $x + (-x) = 0$, and it can be written as $x+(-y)=x-y$

Multiplication Axioms

  1. $x \times y = y \times x$ (;Commutativity)
  2. $x\times(y\times z) = (x \times y ) \times z$ (;Associativity)
  3. There is a number 1 such that $x \times 1 = x$ (;unity)
  4. For each $x \neq 0$ , there exists a number denotes $x^{-1}$ such that $x \cdot x^{-1} = 1$, and it can be written as $x \cdot y^{-1} = \frac{x}{y}$
  5. $x \times (y + z) = x\times y + x \times y$
  6. $1 \neq 0$

위의 공리들은 일반적으로 알고 있는 숫자($\d{N}$:자연수, $\d Z$:정수, $\d Q$:유리수, $\d I $무리수, $\d R$:실수,$\d C$:복소수)들은 만족하는 공리들이다.

통계학적으로 생각해보면 이를 만족하지 않는 개념들은 제법 많은데 우선 사장,부장,차장 등의 범주형 자료가 바로 그것이며, 숫자의 경우에도 1반,2반,3반 등은 덧셈과 곱셈 자체가 성립하지 않는 숫자들이라고 할 수 있다.

Order Axioms

  1. For each x ,we have $x \leq x$. (;Reflexivity)
  2. If $x \leq y$ and $y \leq x$ , then $x=y$ (;Antisymmetry)
  3. If $x \leq y$ and $y \leq z$ , then $x\leq z$ (;Transitivity)
  4. For every pair of numbers (x,y) , either $x \leq y$ or $y \leq x $
  5. If $x \leq y$, then $x+z \leq y+z$ $, \forall z \in \d F$
  6. If $0 \leq x$ and $0 \leq y$, then $0 \leq xy$

여기서 11,12, 14가 결합되어서 증명에 자주 사용되는 공리인 Law of Trichotomy를 만들어 낼 수 있다.

Law of Trichotomy

If $x,y \in \d F$ , $\d F$ is ordered field, then exactly one of the relations $x \geq y , x=y \ or \ x\leq y$ holds

이 공리는 증명할때 제법 자주 나왔다. 예를 들어, $x < y$ 임을 증명하기 위해서 $x=y, x>y$가 성립할 시 모순이 생김을 보이는 방식으로 사용된다.

Ordered Field에서는 셋 중 하나의 관계는 무조건 성립하므로 2가지가 성립할 수 없음을 보이면 나머지 하나가 성립한다고 말 할 수 있다.

B. The Number System

a. Natural Number

  • $\d N = {1,2,3,4,…}$
  • $\d N \in \d R$

자연수는 실수의 부분집합이므로 실수의 성질을 공유한다. 즉, 위의 Ordered Field Axioms를 모두 만족한다.

자연수와 관련해서 다음과 같은 중요한 정리가 만족한다.

Principle of Mathematical Induction(;PMI)

  1. $1 \in S$
  2. If $k \in S$, then $k+1 \in s$

위 두가지를 만족하는 subset S 는 $S = \d N$ 를 만족한다.

이 정리가 좀 더 알기쉬운 친숙한 모습으로 변형되면 다음과 같다.

​ 명제 $T_n$에 대해 subset $S = {n \in \d N \mid T_n \ is \ True}$라고 하자

​ 1번 조건 “$1 \in S$” 는 $T_1$이 True임을 의미한다.

​ $k \in S$는 $T_k$가 True임을 의미하며 2번 조건을 해석하면 $T_k$가 True일시 $T_{k+1}$이 True라고 말 할 수 있다는 것을 의미한다.

​ 따라서 위의 정의로 우리가 알고 있는 일반적인 수학적 귀납법을 설명할 수 있음을 알 수 있다.

아래와 같은 개념이 존재한다.

Well- Ordered

Subset $S$ is well-ordered if and only if there is $S_n \in S$ such that $S_n \leq A$ , $\forall A \in S$

이에 대해 자연수 N은 well-ordered 하다.

b. Rational Number

  • $\d Q = {n/m \mid m \neq 0 , \forall n,m \in \d N}$

  • Q is dense itself

If $x,y \in \d Q , x<y$ ,thenthere is $z \in \d Q$ such that $x < z <y$

  • 유리수 Q는 countable 하다.

$\d Q$ can be one to one correspondence with $\d S \subset N$

  • Archimedean Property

If $x \in \d Q$ ,then there is $n \in \d N$ such that x<n

If $ x \in \d Q , x>0$, then there is $n \in N$ such that $0< \frac{1}{n} < x$

c. The Real Number

  • Ordered Field이다.
  • Law of Trichotomy를 만족한다.
  • Distance (;metric)을 가진다.

1-2. Real Number

Sequence

  • 수열
  • $n \in \d N$에 대응되는 수의 집합 ${x_n}$

수렴의 정의

$x_n$ converges to limit $x$

or $\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x_n = x$ or $x_n \rightarrow x$

Def. For each $\epsilon > 0$,there is $N \in \d N $ such that $\mid x_n -x\mid < \epsilon$ ,$\forall n \geq N$

해석학은 극한에 대해서 중요시 하는 학문이라고 한다. 따라서 위의 정의를 증명에 사용하는 경우가 매우 많았다. 중요한 개념이므로 꼭 외워두자. 이는 입실론-델타 논법의 일종이기도 하다.

Sandwich Lemma

If $x_n \rightarrow L,y_n \rightarrow L$ and $x_n<z_n<y_n$,then $z_n \rightarrow L$

pf)

$x_n \rightarrow L, y_n \rightarrow L$은 다음이 성립함을 의미한다.

For each $\epsilon >0$ , there is $N_1 \in \d N$ such that $\mid x_n - L\mid < \epsilon$ , $\forall n \geq N_1$

For each $\epsilon >0$ , there is $N_2 \in \d N$ such that $\mid y_n - L\mid < \epsilon , \forall n \geq N_2$

$N \equiv max(N_1,N_2)$

$\mid z_n-L \mid \leq max(\mid x_n-L\mid, \mid y_n-L\mid) \leq \epsilon$, $\forall n \geq N $

If $x_n \leq y_n$ and $x_n \rightarrow x , y_n \rightarrow y$ ,then $x\leq y$

pf)

suppose $x>y , x-y =\epsilon>0$,

$x_n \rightarrow x$ : $\forall \epsilon>0,$there is $ N\in \d N$ such that $\mid x_n-x\mid < \epsilon$/2 ,$\forall n \geq N_1 $

$y_n \rightarrow y$ : $\forall \epsilon>0,$there is $ N \in \d N$ such that $\mid y_n-y\mid < \epsilon/2$ ,$\forall n \geq N_2$

$N \equiv max(N_1,N_2)$

Then, $\forall n \geq N ,max(\mid x_n-x\mid ,\mid y_n-y\mid) \leq \epsilon/2$

$y_n \leq y + \epsilon/2 = x - \epsilon/2 \leq x_n$ -> contradiction

so x<y

Uniqueness of Limit

If $x_n \rightarrow x , x_n \rightarrow y$ and ,then x=y

Limit Theorem for sequences

If $x_n \rightarrow x , y_n \rightarrow y$,then follow theorems hold

$a. x_n + y_n \rightarrow x+y$

$b.\lambda x_n \rightarrow \lambda x $

$c. x_n \cdot y_n \rightarrow x \cdot y$

$d.$ If $y_n \neq 0,y_n \neq 0$ ,then $x_n/y_n \rightarrow x/y$

Boundness

There is $M \in \d R$ such that $x_n \leq M$ $\forall n \in \d N$

$\iff Upper Bounded$

There is $ m \in \d R$ such that $m \leq x_n$ $\forall n \in \d N$

$\iff Lower Bounded$

어떤 수열 $x_n$ 이 Converge 할시 항상 Bounded 함

그리고 아래와 같은 중요한 정리가 성립한다.

Monotone Sequence Property

If every Squence defined in $\d F$ are Monotone increasing , bounded above and converges to $u \in F$ ,then it has Monotone Sequence Property

### Completeness

If $\d F$ has Monotone Sequence Property, then $\d F$ is Completeness

이러한 Complete Oredered Field는 Real Number가 유일하다고 한다.

강의에서는 다루지 않았지만 magnitude와 distance에 대한 공리도 알아보자

Magnitude or Absolute Value

  1. $\mid x\mid \geq 0 , \forall x$
  2. $\mid x\mid =0$ iff $x=0$
  3. $\mid x \mid \cdot \mid y\mid = \mid x \cdot y \mid$
  4. $\mid x +y \mid \leq \mid x\mid + \mid y\mid$ (; triangle inequality)
  5. $\mid \mid x\mid - \mid y \mid\mid \leq \mid x \mid - \mid y \mid$

Distance

  1. $d(x,y) \geq 0$
  2. $d(x,y) =0$ iff $x=y$
  3. $d(x,y) = d(y,x)$
  4. $d(x,y) \leq d(x,z) +d(z,y)$ (;triangle inequality)

공리는 왠만하면 그냥 외우는게 정신건강에 좋을 것 같다…

적어도 초반부에 있어서는 증명을 오로지 이 공리들만 사용해서 해야한다. 증명들도 그냥 외워두자, 비슷한 논리를 이용해서 자잘한 것도 모두 증명을 해낼 것 같다.

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