어릴때 썼던거라.. 다소 과한 표현이 많을 것 같습니다.. 부디 귀엽게 봐주셔요..
Chapter 2. The Topology Of Euclidean Space
2-7. Sequence
수열 ${x_n}$은 $x_n : \N \rightarrow M$의 함수로 표현가능하다.
1장에서 $\R$에서의 수열의 수렴을 배웠지만, 2장에서는 $\epsilon - Disk$와 metric을 활용해서 Metric이 정의되는 공간 $(M,d)$에서의 수렴을 정의할 수 있다. 물론 $\R$은 metric space이기 때문에 더 일반적인 방식으로 정의 할 수 있다고 볼 수 있고, 2장의 정의를 이용해서 $\R^n$에서까지 정의할 수 있다.
우선 기존 $\R$공간에 대해서의 수렴은 다음과 같이 표현 할 수 있다.
$x_n \rightarrow x \\ \iff \forall \epsilon>0 , \exists N \in \N \mbox{ such that } \begin{cases} x_n \in (x-\epsilon,x+\epsilon) \\ \mid x_n - x \mid < \epsilon \end{cases} ,\forall n \geq N \\ \iff\forall \epsilon>0 , \exists N \in \N \mbox{ such that } \begin{cases} x_n \in D(x,\epsilon) \\ d(x_n,x) < \epsilon \end{cases} ,\forall n \geq N$
$D(x,\epsilon) = {y\in M \mid d(y,x) < \epsilon}$임을 생각하면 위와 아래는 동치임을 알 수 있다. 즉, 기존에 배웠던 수렴의 정의는 $d(x,x’) \mbox{: Manhattan Distance}$에 국한한 것이며, 이를 이제 좀 더 넓은 범위까지 확장 할 수 있음을 알 수 있다.
$(M,d) \mbox{: metric space}$에 대해서 수렴은 다음과 같이 정의된다.
For ${x_n} \subset M$,
$x_n \rightarrow x \iff \underset{n \rightarrow \infty}{lim} x_n = x \\ \iff \forall U \mbox{{: open set containing x}} ,\exists N \in \N \mbox{ such that } x_k \in U \quad \forall n\geq N $
이에 대해서 U는 $\epsilon -Disk$로 대체할 수 있다.
pf)
$D(x,\epsilon)\mbox{:open set containing x} \\ \mbox{If }\forall \epsilon >0 ,\exists N \in \N \mbox{ such that } x_n \in D(x , \epsilon) , \forall n \geq N$
U is open and containg x so following proposition holds
$\forall x \in U,\exists \epsilon>0 \mbox{ such that }D(x,\epsilon) \subset U $
둘 식을 조합해보면 아래의 식을 얻을 수 있다.
$\forall \epsilon >0 ,\exists N \in \N \mbox{ such that } x_n \in D(x , \epsilon) \subset U, \forall n \geq N \\ \Rightarrow {x_n}\rightarrow x $
따라서 모든 open set을 따질 필요없이 $\epsilon-Disk$를 이용해서 정의를 해도 모든 open set에도 자동적으로 성립을 하게된다. 따라서 다음과 같은 notation으로 변형해도 된다.
$x_n \rightarrow x \\ \iff \forall \epsilon>0 ,\exists N \in \N \mbox{ such that } x_n \in D(x,\epsilon) , \ \forall n \geq N$
$\R ^n$에 대해서 수렴은 다음과 같이 정의가 된다.
For ${x_k} \subset R^n$
$x_k = (x_{1k},x_{2k},…,x_{nk}) \rightarrow x=(x_1,x_2,…,x_n)$
$\iff x_{ik} \rightarrow x_i , \mbox{ for each } i=1,2,…,n$
pf)
증명을 위해서는 다음 Lemma를 사용해야 한다.
Lemma) $\frac{1}{\sqrt n} (\mid x_1 \mid + \mid x_2 \mid +… \mid x_n \mid) \leq \sqrt{x_1^2 + x_2 ^2 + … + x_n^2} \leq \sqrt{n}(\mid x_1 \mid + \mid x_2 \mid +… \mid x_n \mid)$
pf of Lemma)
$T_n : \frac{1}{\sqrt n} (\mid x_1 \mid + \mid x_2 \mid +… \mid x_n \mid) \leq \sqrt{x_1^2 + x_2 ^2 + … + x_n^2} \leq \sqrt{n}(\mid x_1 \mid + \mid x_2 \mid +… \mid x_n \mid)$
Cauchy- Schwart Inequality는 다음과 같다.
$X_1 ^tX_2 \leq \parallel X_1 \parallel \parallel X_2 \parallel $
$X_1 = (\mid x_1 \mid , \mid x_2 \mid , … , \mid x_n \mid)^t,X_2 = (1,1,…1,)^t$로 둘 시 다음 부등식을 만들 수 있다.
$(\mid x_1 \mid + \mid x_2 \mid +… \mid x_n \mid) \leq (x_1^2 + x_2 ^2 + … + x_n^2)^{1/2}(1+1+…+1)^{1/2} = \sqrt{n}\sqrt{x_1^2 + x_2 ^2 + … + x_n^2}$
이를 변형 시켜 전반부를 유도 할 수 있다.
후반부는 PMI를 이용하여 유도할 수 있다.
$T_k$가 성립한다고 가정하자
$a_k := \mid x_1 \mid + \mid x_2 \mid +… \mid x_k \mid$
$ \sqrt{x_1^2 + x_2 ^2 + … + x_k^2} \leq \sqrt{n}(\mid x_1 \mid + \mid x_2 \mid +… \mid x_k \mid) \\ \Rightarrow x_1^2 + x_2 ^2 + … + x_k^2 \leq na_k^2 \\ \Rightarrow x_1^2 + x_2 ^2 + … + x_k^2 + x_{k+1}^2 \leq na_k^2+x_{k+1}^2 \\ \leq na_k^2 +x_{k+1}^2 +{(n-1)x_{k+1}^2+2n\mid x_{k+1} \mid a_k} \\ =n(a_k+x_{k+1})^2 \leq (n+1)a_{k+1}^2 $
따라서 우측부도 성립함을 보일 수 있다.
Lemma) $\frac{1}{n}max\mid X_i \mid \leq \sqrt{x_1^2 + x_2 ^2 +… x_n^2} \leq n \ max \mid x_i\mid $
이제 본격적으로 증명해보자
If $x_k \rightarrow x$ ,then $\forall \epsilon>0, \exists K_0 \in \N \mbox{ such that } \parallel x_k - x \parallel < \epsilon, \forall k \geq K_0$
$\frac{1}{\sqrt {n}} \mid x_{ik} - x_i \mid \leq \frac{1}{\sqrt {n}} \mid x_{k} - x \mid \leq \parallel x_k - x \parallel < \epsilon ,\mbox{ for each } i=1,2,…,n$
$\forall \epsilon>0, \exists K_0 \mbox{ such that } \mid x_{ik}-x_i \mid < \sqrt{n} \epsilon , \forall k \geq K_0 \mbox{ for each } i=1,2,…,n$
$\therefore x_{ik} \rightarrow x_i \mbox{ for each } i=1,2,…,n$
같은 수열이라도 metric d의 정의에 따라 수렴유무가 바뀐다.
위의 명제의 경우 $\R^n$에서 $\parallel x-y \parallel_2$로 수렴한다면 각 원소들은 $\parallel x-y \parallel_1$로 수렴한다는 것을 의미한다.
Sequence의 수렴은 Closed Set과 연계해서 다음과 같은 정리를 형성한다. 수렴과 closed set의 정의를 연결시킬 수 있는 정리이니 잘 습득해두자
$A \mbox{ is closed } \\ \iff A=Cl(A) \\ \iff \forall {x_n} \subset A ,\exists x \mbox{ such that }x_n \rightarrow x \in A$
$\forall x \in Cl(A) , \exists {x_n} \subset A \mbox{ such that }x_n \rightarrow x$
pf)
$A = Cl(A) \\ \Rightarrow \forall x \in A , \forall \epsilon>0 , D(x,\epsilon) \cap A \neq \phi$
이는 ${x_n} \subset A$도 A의 원소이므로 $D(x, \epsilon =\frac{1}{n})$에도 속하고 A에도 속하는 $ {x_n}$ 을 찾을 수 있다. 이 수열은 $x \in A$만 만족한다면 무조건 만들어 낼 수 있다. 이를 수학적으로 다시 풀면 다음과 같다.
$\forall {x_n} \subset A ,\exists x \in A \mbox{ such that }x_n \rightarrow x$
역으로도 증명해보자
$\forall \epsilon >0 ,\exists N \in \N , \mbox{ such that } x_k \in D(x,\epsilon), \forall k \geq N $
$ x_k \in A $이므로 다음이 성립한다.
$\forall \epsilon >0 ,\exists N \in \N , \mbox{ such that } x_k \in D(x,\epsilon) \cap A \neq \phi, \forall k \geq N \\ \Rightarrow x \in Cl(A)$
2-8. Completness
이제 $\R ^n$에서의 completeness도 정의해보자. $\R$에서의 completeness는 다음과 같이 정의되었다.
$\R$ has completeness
$\iff \R$ has Monotone Sequence Property
$(\forall {x_n} \subset \R \mbox{ which is monotone increasing and upper bounded} , x_n \mbox{ converges to }x \in \R)$
$\iff \R$ has Least Upper Bound Property
$(S \subset \R \mbox{ which is bounded above and unempty, has } a\sup S \in \R)$
$\iff$ Every cauchy sequence in $\R$ converges in $\R$
여기서 M.S.P와 L.U.B.P는 Ordered Field에서만 보일수 있지만 3번째 정리는 Unordered Field에서도 보일 수 있다. 대표적인 Unordered Field인 $\R^n$에서는 3번째 정리를 이용해서 completeness임을 보인다.
Cauchy Sequence의 정의를 한번 되짚고 넘어가자
${x_n} $ is Cauchy Sequence
$\iff \forall \epsilon>0 , \exists N \in \N \mbox{ such that } d(x_n, x_m) < \epsilon \quad \forall n,m \geq N$
Metric Space로 수렴의 성질을 확대할 수 있다.
If $(M,d) \mbox{: metric space}, {x_n} \mbox{: cauchy sequence in M}$ , then ..
- ${x_n} \mbox{ converges to x}\in M$
- ${x_n} \mbox{ is bounded}$
- If ${x_{n_k}} \mbox{ converges to x }$, then ${x_n}$ converges to x
pf)
- Cauchy Completeness를 활용해서 증명된다. 이 경우 역도 성립한다.
${x_n} \mbox{ converges to } x \\ \forall \epsilon>0 , \exists N \in \N \mbox{ such that } d(x_n,x)<\epsilon \quad \forall n \geq N \\ \Rightarrow \forall \epsilon >0, \exists N \in \N \mbox{ such that } d(x_n,x_m) \leq d(x_n,x) + d(x,x_m) < 2\epsilon \qquad \forall n,m>N \\ \therefore {x_n} \mbox{ is cauchy sequence}$
- ${x_n}$ is bounded
${x_n} \mbox{ is cauchy sequence } \\ \epsilon =1 >0 \Rightarrow \exists N \in \N \mbox{ such that } d(x_n,x_m ) \leq 1 \qquad \forall n,m \geq N \\ \Rightarrow d(x_n,x_N) \leq 1 \qquad \forall n \geq N \\ \Rightarrow k_0 := max(d(x_1,x_N),d(x_2,x_N),…,d(x_{N-1},x_N)) \\ \Rightarrow \forall n \in \N, d(x_n ,x_N) \leq k_0 \\ \Rightarrow {x_n} \mbox{ : bounded}$
-
If ${x_{n_k}} \mbox{ converges to x }$, then ${x_n}$ converges to x
$\ \forall \epsilon_0>0 ,\exists K_0 \in \N \mbox{ such that } d(x_{n_k},x) < \epsilon \qquad \forall k \geq K_0 \\ \forall \epsilon_1>0 ,\exists K_1 \in \N \mbox{ such that } d(x_{m},x_{n}) < \epsilon \qquad \forall n,m \geq K_1 $
take n as $n_k \geq K = max(K_0,K_1)$
Then, $\forall \epsilon >0 ,\exists K \in \N \mbox{ such that } d(x_m,x) \leq d(x_m,x_{n_k}) + d(x_{n_k},x) \\ \geq \epsilon + \epsilon = 2\epsilon \qquad \forall m \geq K$
$\therefore x_n \rightarrow x$
$\R^n$에서 completeness는 다음과 같이 입증된다.
$\R^N$ has completeness
$\because {x_n} \subset \R^n \mbox{ converges to }x \in \R^n \iff {x_n} \in \R^n \mbox{ is cauchy sequence }$
pf)
If $x_k = (x_{1k},x_{2k},…x_{nk}) \in \R^n$ is cauchy sequence
then $\mid x_{ik} -x_{il}\mid \leq \mid x_{1k}-x_{1l} \mid +\mid x_{1k}-x_{1l} \mid +…+\mid x_{1k}-x_{1l} \mid \leq \sqrt{n} \parallel x_k - x_l \parallel \leq \sqrt{n} \epsilon$
$\Rightarrow {x_{ik}} \in \R \mbox{ is cauchy sequence}$ for each i =1,2,…,n
so ${x_{ik}}$ converges to $x_i \in \R$ for eacg i = 1,2,…n so ${x_k} \in \R^n$ converges to $x \in \R^n$
마지막으로 metric space에서 cluster point는 다음의 성질들을 가진다.
For $(M,d) \mbox{: metric space}, {x_n} \mbox{: sequence in M}$
$x \mbox{ is cluster point of} {x_n} \\ \forall \epsilon>0 , \exists \mbox{ infinitely many} x_n \mbox{ such that } d(x_n,x) <\epsilon \\ \iff \forall \epsilon>0 , \forall N \in \N, \exists n \geq N \mbox{ such that } d(x_n,x) < \epsilon \\ \iff \exists {x_{n_k}} \subset {x_n} \mbox{ such that } x_{n_k} \rightarrow x $
$x_n \rightarrow x \iff \forall {x_{n_k}} \subset {x_n}, x_{n_k} \rightarrow x$
pf)
$\forall \epsilon >0 , \forall N \in \N , \exists n \geq N \mbox{ such that } x_n \in D(x,\epsilon) \\ \Rightarrow \epsilon =1 >0, N =1 \mbox{ such that } n_1 \geq N \mbox{ such that } x_{n_1} \in D(x,1) \\ \Rightarrow \epsilon =1/2 >0 ,N =n_1+1 \mbox{ such that } n_2 \geq N \mbox{ such that } x_{n_2} \in D(x,1/2) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots \\ \Rightarrow \epsilon =1/k >0 , N =n_{k-1}+1 \mbox{ such that } n_k \geq N \mbox{ such that } x_{n_k} \in D(x,1/k)$
so we can make $x_{n_k}$ which converges to x