어릴때 썼던거라.. 다소 과한 표현이 많을 것 같습니다.. 부디 귀엽게 봐주셔요..
Chapter 2. The Topology Of Euclidean Space
2-0. Elementary Set Theory and Metric
이번 주제를 공부해보니 Set Theory의 간단한 논리들을 정리하고 넘어갈 필요를 느꼈다. 바로 시작해보자
About Set
Object x is a member of set A $\iff x \in A$
Set A is a Subset of set S
$\iff A \subset S$
$\iff \forall a \in A , a \in S$
If $A \subset B , B \subset A$ ,then $A=B$
- Set $A \cap B \equiv {x \in S \mid x \in A$ and $x\in B}$
- $\overset{n}{\underset{i=1}{\bigcap}}A_i = \bigcap {A_1,A_2,…A_n} = {x \in S \mid x \in A_1$ and $x \in A_2 $ and … and x \in A_n}$
- Set $A \cup B \equiv {x \in S \mid x \in A $ or $x \in B}$
- $\overset{n}{\underset{i=1}{\bigcup}}A_i = \bigcup {A_1,A_2,…A_n} = {x \in S \mid x \in A_1$ or $x \in A_2 $ or … or $x \in A_n}$
- Set $A \setminus B \equiv {x \in A \mid x \notin B}$
- $A \setminus B = A \cap B^c$
- $A^c \equiv {x \in S \mid x \notin A}$
- If $A \cap B = \phi$, then $A \subset B^C$
- $(A \cap B) ^c = A^c \cup B^c $ (;De Morgan’s laws)
- $(\overset{n}{\underset{i=1}{\bigcup}}A_i)^c = \overset{n}{\underset{i=1}{\bigcap}}A_i^c$
유클리드 벡터 공간에서는 다음과 같은 연산자들이 적용된다.
Metric
$M: Set , d : M \times M \rightarrow \mathbb{R}$ 에 대해 다음을 만족할 시 d는 Metric이다.
- $d(x,y) \geq 0 , \forall x,y \in M$
- $d(x,y) = 0 \iff x=y$
- $d(x,y) = d(y,x) \ \forall x,y \in M $ (;Symmetric)
- $d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y) \ \forall x,y,z \in M$ (;Triangle Inequality)
이와 같은 metric이 정의 되는 공간을 metric space라고 부른다.
(M,d) : metric space
Norm
$M : Set,\parallel \cdot \parallel:M \rightarrow \mathbb{R}$ 에 대해 다음을 만족할 시 $\parallel \cdot \parallel$는 Norm이다.
- $\parallel x\parallel \geq 0 \ \forall x \in \mathbb{R}^n$
- $\parallel x \parallel =0 \iff x=0$
- $\parallel \lambda x\parallel = \mid\lambda\mid \times \parallel x\parallel \ \forall x \in \mathbb{R} ^n ,\forall \lambda \in \mathbb{R}$
- $\parallel x+ y \parallel \leq \parallel x \parallel + \parallel y \parallel \ \forall x,y \in \mathbb{R}^n$ (;Triangle Inequality)
이와 같은 Norm이 정의 되는 공간을 Normed Space라고 부른다.
$(M,\parallel \cdot \parallel)$ : Normed Space
Inner Product
$M : Set , \left< \cdot , \cdot \right> : M \times M \rightarrow \mathbb{R}$ 에 대해 다음을 만족할 시 $\left< \cdot , \cdot \right> $는 Inner Product이다.
- $\left< x , y \right> = \left< y , x \right>$ (; Symmetry)
- $\left< ax , y \right> = a\left< x , y \right> $
- $\left< x + y,z \right> =\left< x , z \right>+\left< y ,z\right> $
- $\left< x , x \right> > 0 $ for $x \in M \setminus {0}$
이와 같은 Inner Product가 정의 되는 공간을 Inner Product Space라고 부른다.
$(M,\left< \cdot , \cdot \right>)$ : Inner Product Space
위의 세 가지 연산자와 그것이 정의되는 공간은 다음과 같은 관계를 가진다.
$Inner Product Spaces \Rightarrow NormedSpaces \Rightarrow MetricSpaces$
내적이 정의되는 공간에서는 놈도 정의되고 놈이 정의되는 공간에서는 메트릭도 정의될 수 있다는 의미이다.
$\left< x ,x \right> := \parallel x \parallel $로 두고, $\parallel x-y \parallel = d(x,y)$로 둘 시 상위 연산자의 공리를 완벽하게 만족할 수 있기 때문이다.
2-1. Open Sets
Open Set은 수학에서 경계선을 포함하지 않는 개념이 들어있는 Set이라고 한다. 이를 수학적으로 정의하고, 각종 정리를 연역하기 위해서 우선 $\epsilon-disk$라는 것을 먼저 정의하자.
$(M , d) :$metric space , $x \in M , \epsilon >0$
$D(x, \epsilon) := {y \in M \mid d(x,y) < \epsilon }$
$:= \epsilon-disk$ about x
$:= \epsilon-ball$ (whose ceter is x and radius is $\epsilon $)
이를 이용해서 Open Set은 다음과 같이 정의된다.
A : Open Set
iff $\forall x \in A , \exists \epsilon >0 $ such that $D(x, \epsilon) \subset A$
A : Not Open Set
iff For some $x \in A$ , $\forall \epsilon >0$ such that $D(x, \epsilon) \not\subset A$
이에 대해서 다음과 같은 명제가 성립한다.
Proposition 2.1.2
$D(x , \epsilon)$ is Open Set
Pf)
Let $y \in D(x,\epsilon)$ , $\forall \epsilon$, we can define $\delta = \epsilon - d(x,y)>0$
$z \in D(y, \delta) \Rightarrow d(z,y) < \delta$
$d(x,z) \leq d(x,y) + d(z,y)$ (by triangle inequeality)
$< d(x,y) + \delta$
$= \epsilon$
so $z \in D(x,\epsilon)$
정리하면 if $z \in D(y, \delta) $, then $z \in D(x, \epsilon) \Rightarrow D(y, \delta) \subset D(x, \epsilon)$
so for all y , there exists $\delta$ such that $D(y,\delta) \subset D(x,\epsilon)$
또 다음의 중요한 명제가 성립한다.
$(m,d) :$ Metric Space
If $A,B \subset M$ is Open Set, then $A \cap B: $ Open set
pf)
$\forall x \in A , \exists \epsilon_1 \ s.t \ D(x,\epsilon_1) \subset A$
$\forall x \in B , \exists \epsilon_2 \ s.t \ D(b,\epsilon_2) \subset B$
$\epsilon = min(\epsilon_1, \epsilon_2)$
claim $D(x, \epsilon) \subset (A\cap B)$
Let $z \in D(x,\epsilon) \Rightarrow d(x,z)<\epsilon \leq \epsilon_1 \Rightarrow z \in D(x,\epsilon_1)$
$z \in D(x,\epsilon) \Rightarrow d(x,z)<\epsilon \leq \epsilon_2 \Rightarrow z \in D(x,\epsilon_2)$
so if $z \in D(x,\epsilon) \Rightarrow z \in (D(x,\epsilon_1) \cap D(x,\epsilon_2))$
이는 좀 더 일반화 되어 다음과 같은 명제가 성립한다.
If $A_1,A_2,…,A_n$ is open, then $\underset{i}{\bigcap} A_i$ is open
그러나 이는 Finite한 교집합에서만 성립한다.
ex) $A_i = D(x,1/i) \Rightarrow \overset{\infty}{\underset{i=1}{\bigcap}} A_i = {x}$
If $A_1,A_2,…,A_n$ is open, then $\underset{i}{\bigcup} A_i$ is open
이 경우에는 Infinite한 합집합에서도 성립한다.
pf1)
$x \in A_1 \cap A_2 \cap … \cap A_n \Rightarrow x \in A_1 ,…x \in A_n \Rightarrow \exists \epsilon_i \ s.t \ D(x,\epsilon_i) \subset A$
$\forall x \in \bigcap_i A_i $ , $\exists \epsilon := min(\epsilon_1,\epsilon_2,…,\epsilon_n) >0$ such that $D(x,\epsilon) \subset \bigcap_i A_i$
$\therefore \bigcap_i A_i$ is open set
pf2)
$x \in \bigcup_i A_i \Rightarrow x \in A_i$ for some i
$\exists \epsilon>0 $ such that $D(x, \epsilon) \subset A_i \subset \bigcup_i A_i$
$\therefore \bigcup A_i$ is open set
2-2. Interior Point Of A
$(m,d):$ metric space
$\begin{cases} x \in A : \mbox{Interior Point of A} \\ \exists \epsilon>0 \quad \mbox{such that} \quad D(x,\epsilon) \subset A \end{cases}$
$Int(A) = {x \in A \mid x\mbox{ is interior point of A}}$
이에 대해 다음 명제들이 성립한다.
$A \mbox{ is open}$
$\iff \forall x \in A , \exists \epsilon >0 \quad \mbox{such that } D(x, \epsilon) \subset A$
$\iff \forall x \in A , \mbox{x is interior point of A}$
$\iff \forall x \in A , x \in Int(A)$ ,즉, $A$는 $Int(A)$의 부분집합이다.
$\iff A = Int(A)$
$Int(A) \mbox{ is open set}$
$Int(A) = \underset{B \subset A}{\bigcup} B {\mbox{;B is open and subset of A}} \mbox{ = The largest open set contained in A}$
pf)
$x \in Int (A) \Rightarrow \exists \epsilon>0 \mbox{ such that } D(x,\epsilon) \subset A$
$\delta := \epsilon - D(x,y)$
$\forall y \in D(x,\epsilon) \mbox{ and } D(y,\delta) \subset D(x,\epsilon)$
$\Rightarrow y \in Int(A)$
$\Rightarrow D(x,\epsilon) \subset Int(A)$
2-3. Closed Set
Closed Set은 Open Set과 반대되는 개념이지만 Open이 아니라고 Closed인 것은 아니다.
$A : \mbox{Closed Set} \iff A = M \setminus A^c \mbox{(;}A^c \mbox{ is Open Set)}$
Closed Set에 대해 다음과 같은 Property가 있다.
If $A_1,A_2,…,A_n$ is closed, then $\underset{i}{\bigcap} A_i$ is closed
그러나 이는 Ifinite한 교집합에서도 성립한다.
If $A_1,A_2,…,A_n$ is closed, then $\underset{i}{\bigcup} A_i$ is closed
이 경우에는 finite한 합집합에서만 성립한다.
ex) $A_i = [0,1-1/i] \Rightarrow \overset{\infty}{\underset{i=1}{\bigcup}} A_i = [0,1)$
$\begin{cases} M \mbox{: open} \Rightarrow M^c = \phi \mbox{: open} \\ \phi \mbox{: open} \Rightarrow \phi^c = M \mbox{: open} \end{cases} $
$\Rightarrow M,\phi \mbox{: Open and Closed}$
There are sets which is not open and not closed
ex) $X = [0,1) \mbox{: neither open nor closed}$
pf)
$A_i \mbox{: closed set} \Rightarrow A_i^c \mbox{: open set}$
$\underset{i}{\bigcup} A_i^c \mbox{: open set} = (\underset{i}{\bigcap} A_i)^c \Rightarrow \underset{i}{\bigcap} A_i \mbox{ : closed set}$
$\underset{i}{\bigcap} A_i^c \mbox{: open set} = (\underset{i}{\bigcup} A_i)^c \Rightarrow \underset{i}{\bigcup} A_i \mbox{ : closed set}$
2-4. Accumulation Points
-
Accumulation Points는 Closed Set의 성질을 설명하고 증명하기 위해 만들어진 개념이다.
-
수학적으로는 아래와 같이 정의된다.
$x \mbox{ is accumulation point of A}$
$\forall u \mbox{(open set containing x)} , u \setminus {x} \cap A \neq \phi$
$\iff \forall \epsilon >0 , (D(x,\epsilon) \setminus {x}) \cap A \neq \phi$
즉, 점 x가 A와 맞닿아 있을 시 Accumulation Points라고 말한다.
Closed Set과의 관계를 살펴보기 위해 다음과 같은 notation을 쓰자.
$A’ := {x \in M \mid x \mbox{ is accumulation point of A}}$
그러면 다음과 같은 관계식이 성립한다.
$A \mbox{ : closed} \iff A’ \subset A$
pf)
$A \mbox{ : closed set} \Rightarrow A^c \mbox{ : open set}$
$A’ \subset A \iff (A’)^c \supset A$
Let $A \mbox{: closed}$
$x \in A^c \mbox{ : open } \Rightarrow \exists \epsilon >0 , D(x, \epsilon) \subset A^c $
$\Rightarrow D(x,\epsilon) \cap A = \phi$
$\Rightarrow D(x,\epsilon) \setminus {x} \cap A = \phi$
$\Rightarrow x \notin A’ \Rightarrow x \in (A’)^c$
so $\forall x \in A^c , x \in (A’)^c \Rightarrow A^c \subset (A’)^c$
Let $A’ \subset A \mbox{, then } \forall x \in A^c,x \in (A’)^c$
$\Rightarrow \exists \epsilon>0 , (D(x,\epsilon)\setminus {x})\cap A = \phi \Rightarrow D(x,\epsilon)\cap A = \phi$
$\Rightarrow D(x,\epsilon) \subset A^c \Rightarrow A^c \mbox{ is open}$
so A is closed
2-5. Closure of a Set
Closure of a Set은 Interior Point Set of A와 유사하게 다음과 같이 정의된다.
$A \subset M$
$Int(A) = \underset{B \subset A }{\bigcup}B =$ the Largest open set contained in A
$Cl(A) = \underset{B \supset A}{\bigcap} B =$ the Smallest closed set containing A
여기에 대해서는 다음과 같은 property가 있다.
$Cl(A) \supset A$
$Cl(A) \mbox{ : Closed Set}$
If $B \supset A \mbox{ and } B \mbox{: closed, then } Cl(A) \subset B$
$A = Cl(A) \iff A \mbox{ : closed} $
$Cl(A) = A\cup A’$
pf)
- $Cl(A) = \underset{B \supset A}{\bigcap} B$ 따라서 $A \subset \underset{B \supset A}{\bigcap} B = Cl(A)$
- $Cl(A) = \underset{B \supset A}{\bigcap} B \mbox{(B is closed)} \Rightarrow \mbox{Closed}$
- $Cl(A) = \underset{B \supset A}{\bigcap} B \subset B$
- If A is closed ,then $Cl(A) \subset A$ ($Cl(A)$는 가장 작은 closed set 이기에)
$A \subset Cl(A)$ ($Cl(A) = \underset{B \supset A}{\bigcap}B$)
따라서, $Cl(A) = A$
- claim $ \begin{cases} \ ㄱ. A’ \subset Cl(A) \\ ㄴ. A \cup A’ : Closed \end{cases}$
ㄱ. Let $x \in (Cl(A))^c = (\bigcap B)^c= \cup B^c$
$\Rightarrow x \in B^c \mbox{ for some }A \subset B$
$\Rightarrow \exists \epsilon >0 , D(x, \epsilon) \subset B^c$
$\Rightarrow D(x,\epsilon) \cap B = \phi \Rightarrow x \notin A’ \Rightarrow x \in (A’)^c$
so $(Cl(A))^c \subset (A’)^c \Rightarrow A’ \subset Cl(A)$
so $(A’ \cup A) \subset Cl(A)$
ㄴ. Let $x \in (A \cup A’)^c \Rightarrow x \notin A , x \notin A’$
$\Rightarrow x \notin A, \exists \epsilon>0, (D(x,\epsilon)\setminus{x}) \cap A = \phi$
$\Rightarrow D(x,\epsilon) \subset A^c$
If $y \in {D(x,\epsilon) \cap A’},$ then $D(y,\delta) \setminus {y} \cap A \neq \phi$ ${y \in A’, \delta = \epsilon - d(x,y)}$
but $(D(y,\delta) \cap A)\subset (D(x,\epsilon) \cap A) = \phi$. So, there is contradiction if ${D(x,\epsilon) \cap A’ \neq \phi }$
$\Rightarrow D(x,\epsilon)\cap A’ = \phi$ $\Rightarrow D(x,\epsilon) \subset (A’)^c$
$\Rightarrow D(x,\epsilon) \subset (A^c \cap A’^c) \subset (A \cup A’)^c$
so $(A \cup A’)^c$ is open, and $A \cup A’$ is closed
$A \cup A’ \mbox{ : closed } \supset \underset{B \supset A}{\bigcap} B = Cl(A)$
By ㄱ and ㄴ ,$A \cup A’ = Cl(A)$
Accumulation Point Set과 Closure 는 다음과 같은 관계가 있다.
$x \in Cl(A) \iff \forall \epsilon >0 , D(x, \epsilon) \cap A \neq \phi$
$x \in A’ \iff \forall \epsilon >0 , (D(x,\epsilon)\setminus{x})\cup A \neq \phi$
2-6. Boundary Points Of a Set
Boundary Point of Set은 다음과 같이 정의된다.
$(m,d) \mbox{: metric space}$
$bd(A) = Cl(A) \cap Cl(A^c)$
$x \in bd(A) \iff x \in Cl(A), x \in Cl(A^c)$
$\iff \forall \epsilon>0 \begin{cases} \ D(x,\epsilon) \cap A \neq \phi \\ D(x,\epsilon) \cap A^c \neq \phi \end{cases}$
이와 Interior Point를 더하여 전체집합 M은 다음과 같이 나누어 질 수 있다.
$x \in M, \forall \epsilon >0 $
$\begin{cases} \ D(x,\epsilon) \subset A \ \Rightarrow x \in Int(A) \\ D(x,\epsilon) \subset A^c \Rightarrow x \in Int(A^c) = Ext(A) \\ D(x,\epsilon) \not\subset A \mbox{ and }D(x,\epsilon) \not\subset A^c \Rightarrow Bd(A) \end{cases} $
$M = Int(A) \cup Int(A^c) \cup Bd(A)$